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Physics and Astronomy


Freiburger Münster

Freiburger Münster
                Turm
 Freiburger Münster
                Turmhalle




 Marken

Das Freiburger Münster gehört zu den wenigen großen gotischen Kirchenbauten, die noch im Mittelalter vollendet wurden. Auch sein prachtvoller Westturm wurde bereits um 1330 fertiggestellt.

In der Turmhalle finden sich auf dem Boden zwei Markierungen, die auf Fallversuche hinweisen. Eine dieser Marken ist der Lotpunkt der Turmspitze, die andere ist der Punkt, in dem ein von der Turmspitze frei fallender Körper auftrifft. Der Abstand beträgt 3,1 bis 3,2 cm.

Die Differenz der beiden Punkte ist eine Folge der Erddrehung um ihre Achse.

Die im folgenden hergeleitete Rechnung ergibt für die Ablenkung von der Lotrichtung jedoch nur 1,8 cm, also eine beträchtliche Diskrepanz. Auch bei ähnlichen Fallversuchen in Vergangenheit und Gegenwart sind große Schwankungen der Einzelmessungen aufgetreten. Ein Hauptproblem ist, dass der Körper beim Loslassen ungestört bleibt.

Weiter unten sind historische und moderne Fallversuche beschrieben:

Es gelten damals wie heute die Worte von Carl Friedrich Gauß, der eine zutreffende Theorie der Fallversuche lieferte (zitiert nach Willerding):

 ... das die Fallversuche wenig geeignet sind die Drehbewegungen der Erde erkennbar zu machen,
da sie nach den kostspieligsten
Zurüstungen doch immer nur höchst rohe Resultate geben können.

Das Diagramm zeigt den zu erwartenden Effekt der Ostabweichung in Abhängigkeit von Fallhöhe und  geographischer Breite:

Diagramm Ostablenkung Breite Fallhöhe  Tabelle
                      Ostablenkung


Freier Fall im rotierenden Bezugssystem
Herleitung der Ostabweichung


Eine qualitative Erklärung der Ostablenkung ergibt sich dadurch, dass der Körper durch die Erddrehung nach Osten beim Loslassen in der Höhe H wegen seines größeren Drehradius eine größere tangentiale Geschwindigkeit v1 besitzt als der Lotpunkt auf dem Boden (v0). Er landet also östlich des Lotpunktes.

Halbquantitativ kann man rechnen:
v1 = cos(φ)·(R+H)·ω
v0 = cos(φ)·R·ω
∆v = cos(φ)·H·ω

Mit der Geschwindigkeitsdifferenz ∆v und der Fallzeit T bis zum Boden
T
beträgt dann die Ablenkung
Formel
Gegenüber der folgenden strengeren Rechnung fehlt hier ein Faktor 2/3.

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Das erdfeste Bezugssystem (x,y,z) hat seinen Ursprung auf der geographischen Breite φ, mit der x-Achse nach Osten (senkrecht in die Zeichenebene hinein), der y-Achse nach Norden und der z-Achse radial nach außen, also senkrecht zur Erdoberfläche. Es rotiert wie die Erde mit der Winkelgeschwindigkeit omega.

Zeichnung rotierendes
                  Koordinatensystem Erde
                  Bezugssystem
Ein Körper, der sich in diesem rotierenden System mit der Geschwindigkeitvektor u bewegt, erfährt als Scheinkräfte die Corioliskraft mit der zugehörigen Beschleunigung
Coriolis
und die Zentrifugalkraft, die in guter Näherung vernachlässigt werden kann, da sie mit der kleinen Winkelgeschwindigkeit ω zum Quadrat eingeht. Nach der Rechtsschraubenregel erkennt man, dass bei einer Bewgung entgegen der z-Achse die Coriolisbeschleunigung die x-Richtung hat, also nach Osten.

Die vereinfachte Bewegungsgleichung lautet dann:
Differentialgleichung
Für das Vektorprodukt gilt:
Vektorprodukt

Auf der geographischen Breite φ ist:
Vektor omega
                  Winkelgeschwindigkeit
Mit der Näherung u  bzw.  u gilt dann:
DGL
Zweifache Integration liefert für die Abweichung in x-Richtung, also nach Osten:
Ostabweichung x
In der Höhe H, also bei z=H, beginnt ein Körper seinen freien Fall und erreicht bei Vernachlässigung der Abweichung des Geschwindigkeisvektors vektor uvon der Vertikalenden Boden nach der Zeit
T
Am Boden ist die Ablenkung dann
AblenkungAbweichung
                          Ost
Nimmt man als Höhe der Turmspitze des Freiburger Münsters H=116 m an, ergibt sich für die Ostablenkung:
x = 1,84 cm.

Rechnung Freiburg

Ohne die Vereinfachung uerhält man zusätzlich eine sehr geringe Südabweichung:
Südabweichung
die beim Freiburger Münster nur 0,0024 mm beträgt und somit nicht nachweisbar ist.

Auch die Orientierung der Marken ist fraglich. Die Diagonale der Bodenplatten hat die Richtung des Langhauses, die nur wenig (1° bis 2°) von der Ost-West-Ausrichtung abweicht (Karten).

Karte



Alternative Herleitung


Ein frei fallender Körper bewegt sich zunächst in guter Näherung auf einer Keplerschen Ellipse, für die der Fächensatz gilt (nach Willerding):
Flächensatz
                                  Kepler Ellipse
Winkelgeschwindigkeitbezeichnet die momentane Flächengeschwindigkeit des Körpers auf dem Niveau z. Bis einschließlich zur ersten Ordnung in z/R folgt
Geschwindigkeit
Um die Ostablenkung hieraus zu erhalten, muß man mit dem Fallgesetz z= ½ g t2 von 0 bis T integrieren und erhält dann wie oben
Ostabweichung

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Fallversuche von Giovanni Battista Guglielmini

Seine Ergebnisse veröffentlichte Guglielmini (1763 - 1817) im Jahre 1798 auf Italienisch und 1792 auf Lateinisch. Der Turm der Asinelli in Bologna ist 97,2 m hoch, und Guglielmi nutzte eine Fallhöhe von 78,3 m. Um Erschütterungen und Wind zu meiden, führte er von Juni bis September seine 16 Versuche nachts durch. Eine Tabelle der Lateinischen Publikation (S. 78-79) gibt die jeweilige Position des Fallkörpers am Boden in östlichen und südlichen Koordinaten an, die aber noch mit der Position des Lots zu verrechnen waren.
Einheiten: pollices, lineas; z.B. 7:5,5 = 7*12+5,6 Linien=89,6 Linien à 2,2558 mm = 202,12 mm)
Als gravierender Mangel führte er diese Messung jedoch erst 6 Monate später im Februar aus, mit andersartigen klimatischen Auswirkungen auf die Statik des Bauwerks.
Das Diagramm zeigt seine 16 Ergebnisse nach Verrechnung mit der Lotposition in der Einheit Pariser Linien:

Guglielmini Bologna5

Ohne den Ausreißer ('flante vento', windig) ergibt sich als Mittelwert (Mittelwert) in Pariser Linien:
x = 7,4 ± 1,9
y = - 5,0 ± 1,4

x = (16,7 ± 4,4) mm
y = - (11,2 ± 3,1) mm

Die Rechnung mit Fallhöhe 241 Pariser Fuß = 241*12*12*2,2558 mm = 78,3 m, Breite für Bologna 44,5°, g=9,806 m/s^2 liefert als Ostablenkung
x = 10,9 mm

Mit seiner unzutreffenden Theorie berechnet Guglielmini x=7,581 Linien = 17,1 mm

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Fallversuche von Johann Friedrich Benzenberg

Der Düsseldorfer Physiker, Astronom und Geodät Johann Friedrich Benzenberg (1777 - 1846) führte 1802 Fallexperimente im Turm des Hamburger Michel aus, sowie 1804 in einem Kohleschacht der Zeche Trappe in Wetter-Schlebusch bei Hagen. Seine Experimente, die Theorie und frühere Versuche beschreibt er sehr ausführlich auf 543 Seiten und 7 Tafeln: (J. F. Benzenberg: Versuche über das Gesetz des freien Falls.


Hamburger Michel
Juli bis Oktober 1802

Mein Bild zeigt die Verteilung von 31 Messungen in Pariser Linien mit Mittelwert (Mittelwert) und Standardabweichung, nach Benzenbergs Tabelle Seite 340 bzw. Seite 371 des PDF, die eine weite Streuung aufweisen:

Verteilung
                                    Hamburg


West-Ost
Süd-Nord
Min
-14,8
-17
Max
21,5
10,5
Mittel
4,0
-1,49
Stabw.
8,7
6,3
Mittel mm
9,0
-3,4
Soll mm
8,7
0

Die Werte in Pariser Linien erstrecken sich von 14,8 nach Westen bis 21,5 nach Osten mit dem Mittelwert 4,0 Ost:
x = 4,0 ± 8,7
sowie von 17 Süd bis 10,5 Nord mit dem Mittelwert 1,5 Süd
y = - (1,5 ± 6,3)
Umgerechnet in mm (1 Pariser Linie=2,2558 mm) :
x = (9,0 ± 19,7) mm
y = - (3,4 ± 14,1) mm

Mit der Fallhöhe 76,34 m (235 Pariser Fuß), Breite 53,55° und g=9,814 m/s^2 berechnet man als Ostabweichung
x = 8,69 mm



Zeche Trappe
Oktober 1804

Benzenberg verwendet Kugeln aus einer Legierung von Blei und Zinn mit  Durchmesser 16 Pariser Linien und 17 Lot Gewicht (3,6 cm und 0,235 kg). 
Mein Bild zeigt die Verteilung von 29 Messungen in Pariser Linien mit Mittelwert (Mittelwert)und Standardabweichung, nach Benzenbergs Tabelle Seite 424 bzw. Seite 457 des PDF, die eine weite Streuung aufweisen:

Verteilung
                                    Bergwerg Benzenberg



West-Ost
Süd-Nord
Min
-10
-19
Max
20
15
Mittel
5,1
-0,7
Stabw.
7,6
9,4
Mittel mm
11,5
-1,6
Soll mm
8,7
0

Die Werte erstrecken sich von 10 nach Westen bis 20 nach Osten mit dem Mittelwert 5,1 Ost:
x = (5,1 ± 7,6)
sowie von 19 Süd bis 15 Nord mit dem Mittelwert 0,7 Süd
y = - (0,7 ± 9,4)
Umgerechnet in mm (1 Pariser Linie=2,2558 mm) :
x = (11,5 ± 17,1) mm
y = - (1,6 ± 21,2) mm

Mit der Fallhöhe 85,11 m (262 Fuß), Breite 53,55° und g=9,814 m/s^2 berechnet man als Ostabweichung
x = 10,75 mm

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Fallversuche von Ferdinand Reich

Ferdinand Reich (1799 - 1882) nutzte bei seinen Experimenten im August und September 1831, die er als Professor für Physik an der Bergakademie Freiberg durchführte.

Verteilung
                                    Freiberg Reich

Insgesamt 106 Versuchen wurden in 6 Reihen durchgeführt, mit zwei verschiedenen Verfahren des Loslassens: Zange bzw. Ring, durch den die vorher erwärmte Kugel beim Erkalten fällt.
Die Kugeln hatten im Mittel 4,034 cm Durchmesser und 270,45 g Masse (Dichte 7,878 g/cm^3).
Bei unterschiedlichen Gewichten für die Mittelwerte der einzelnen Reihen wurden diese "nach den Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung" zu einem Gesamtmittelwert verrechnet. Hierbei hatte Reihe 5 für die östliche Abweichung des höchste Gewicht, die Reihen 4 und 5 für die südliche Abweichung:

x = (28,396 ± 2,703) mm
y = - (4,374 ± 2,7) mm

Mit Fallhöhe 158,5 m, Breite 50,89° und g=9,810 m/s^2 berechnet man
x = 27,6 mm
Dank enormer Sorgfalt gelingt eine sehr gute Bestimmung der Ostablenkung.


Berücksichtigung der Luftreibung

Mit den Kugeln Reichs beträgt der relative Unterschied ∆T/T der Fallzeit mit und ohne Luftreibung  3,5 % bei 158,5 m Höhe.

Luftreibung


Moderne Wiederholungen

Draszow, Backhaus (Koblenz 1996)

Die Fallversuche im Rahmen einer Staatsexamensarbeit fanden im Treppenhaus des Gebäudes der Universität Koblenz statt, Fallhöhe 16,51 m, Breite 50,34°, 109 Versuche.
Die Einzelwerte der beobachtete Ostabweichung lagen zwischen 5,5 mm West 85 mm Ost mit dem östlichen Mittelwert
x = (1,8 ± 0,3) mm
berechnet:
x = 0,94 mm

Südabweichungen wurden beobachtet zwischen 4 mm Nord und 5,5 mm Süd mit dem südlichen Mittelwert:
y = - (0,9 ± 0,2) mm


Bähr u.a. (Bremen 2003)

Ein studentisches Projekt an der Freien Universität Berlin wurde im Zentrum für angewandte Raumfahrttechnik und Mikrogravitation (ZARM, Fallturm Bremen) durchgeführt.
Als Abwurfvorrichtung dienten der Kugeln (8 mm) dienten Elektromagnete.
Fallhöhe 119 m, Breite 53,11°, 120 Messungen:
Die Einzelwerte der gemessenen Ostabweichungen lagen zwischen 4 mm und 68 mm mit dem Mittelwert
x = (26,6 ± 10,7) mm
berechnet:
x = 17,1 mm

Die gemessenen Südabweichungen lagen zwischen 18 mm Nord und 45 mm Süd mit dem südlichen Mittelwert:
y = - (14,3 ± 15,2) mm

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Es bestätigt sich also das Zitat von Carl Friedrich Gauß:

 ... das die Fallversuche wenig geeignet sind die Drehbewegungen der Erde erkennbar zu machen, da sie nach den kostspieligsten Zurüstungen doch immer nur höchst rohe Resultate geben können.


Web Links

Benzenberg, Johann Friedrich: Versuche über das Gesetz des Falls, über den Widerstand der Luft und über die Umdrehung der Erde, nebst der Geschichte aller früheren Versuche von Galiläi bis auf Guglielmini; Dortmund 1804 (Digitalisat Münchener Digitalisierungszentrum)

Benzenberg, Johann Friedrich: Versuche über das Gesetz des Falls, über den Widerstand der Luft und über die Umdrehung der Erde, nebst der Geschichte aller früheren Versuche von Galiläi bis auf Guglielmini; Dortmund 1804 (Digitalisat Max-Planck-Institut für Wissenschaftsgeschichte)
 

Fallexperimente zum Nachweis der Erdrotation (Wikipedia)

Pariser Linie (Wikipedia)

Eugen Willerding: Mathematisches Tagebuch, Kap. 2.3 Fallversuche auf der rotierenden Erde (PDF)

Draszow, S. und Backhaus, U.: Dreht sich die Erde wirklich?

Bähr, J. u.a.: Dreht sich die Erde? Forschungsbericht über ein pädagogisches und physikalisches Experiment zum Nachweis der Erdrotation

Stadtplan Freiburg

OpenStreetMap

(*) How can I determine my local values of gravitational acceleration and altitude? (NPL)

(**) Earth Shape Applet

Ein Blick vom Turm, Friedrich Benzenbergs Fallversuche im Turm des Michels


Deflection of Falling Bodies

A. O. Persson: The Coriolis Effect:
Four centuries of conflict between common sense and mathematics, Part I: A history to 1885

D. Graß: Rotierende Bezugssysteme

Jim Branson: Example: Deflection of a Falling Object

S.T.C. Siklos: Hand-out 6: Coriolis effect on a falling body

Microsoft Word - 01persson.doc Ostabweichung

Gaspard Gustave de Coriolis (Wikipedia)

Giovanni Battista Guglielmini (Wikipedia)

Baptistae Guglielmini de Diurno terrae motu experimentis physico-mathematicis confirmato opusculum (ETH-Bibliothek)

Giovanni Battista Guglielmini: Riflessioni sopra un nuovo esperimento in prova del diurno moto della Terra (Google Books)

C. J. Cunningham: How Do We Know Earth Rotates?

Drei-Brüder-Schacht (Wikipedia)

Ph. Gilbert: Les preuves méchaniques de la rotation de la terre, Bulletin des Sciences Mathématiques et Astronomiques, 1882, Seiten 189-223 (BnF)

Ferdinand Reich (Wikipedia)

Ferdinand Reich: Fallversuche über die Umdrehung der Erde angestellt auf hohe Oberbergamtliche Anordnung in dem Drei-Brüderschachte bei Freiberg, Freiberg 1832 (PDF, BSB MDZ)

Mettmann, Heike: Das Münster zu Freiburg im Breisgau; hg. vom Freiburger Münsterbauverein; Kunstverlag Josef Fink, Lindenberg i. Allgäu; 8. Aufl. 2014; ISBN 978-3-933784-26-1.


2016 J. Giesen

letzte Änderung: 1. November 2016

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